jueves, 21 de febrero de 2013
lunes, 18 de febrero de 2013
domingo, 10 de febrero de 2013
TIPOS DE INTERVALO
“Intervalo”
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos
los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus
elementos.
Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta,
semirrectas o la misma recta real.
Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son
intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta
real son intervalos infinitos.
Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.
Sean a y b dos números reales tales que a < b.
Intervalo cerrado
Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los
comprendidos entre ambos.
[a, b] = { x / a £ x £ b}
Intervalo abierto
Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)
Es el conjunto de números reales formado por b y los números
comprendidos entre a y b.
(a, b] = {x / a < x £ b}
Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)
Es el conjunto de números reales formado por a y los números
comprendidos entre a y b.
[a, b) = { x / a £ x < b}
Intervalos infinitos
[a, +¥) = { x / x ³ a} (a,
+¥) = { x / x > a}
(-¥ , b] = { x / x £ b}
(-¥ , b) = { x / x < b}
(-¥ , +¥ ) = R
Ejemplo. Interprete gráficamente los intervalos:
a) [-2, 3] b) (1, 4) c) (0, 5] d) [1, +¥ ) e) (-¥ , 3)
a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números
reales entre -2 y 3. Como es cerrado incluye los
extremos. Su representación gráfica es:
b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales
entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:
c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales
entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a
izquierda o bien semicerrado a derecha. Su gráfica es:
d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los
números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:
e) El intervalo (-¥, 3) es infinito y comprende todos los
números reales menores que 3. Su gráfica es:
A modo de resumen:
Nombre del intervalo
|
Notación conjuntista
|
Notación de intervalos
|
Representación gráfica
|
Abierto
|
{x / a < x < b}
|
(a, b)
|
|
Semicerrado a derecha
|
{x / a < x £ b}
|
(a, b]
|
|
Semicerrado a izquierda
|
{ x / a £ x < b}
|
[a, b)
|
|
Cerrado
|
{ x / a £ x £ b}
|
[a, b]
|
|
Infinito abierto a izquierda
|
{ x / x > a}
|
(a, +¥ )
|
|
Infinito cerrado a izquierda
|
{ x / x ³ a}
|
[a, +¥ )
|
|
Infinito abierto a derecha
|
{ x / x < b}
|
(-¥ , b)
|
|
Infinito cerrado a derecha
|
{ x / x £ b}
|
(-¥ , b]
|
|
Infinito
|
R
|
(-¥ , +¥ )
|
viernes, 8 de febrero de 2013
jueves, 7 de febrero de 2013
LOS SIGNOS DE DESIGUALDADES
“DESIGUALDADES”
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo
de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
≠
no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:
1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:
5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;
Ejemplo:
–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20
Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.
Por ejemplo:
x + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ejemplos: 3 < 4, 4
> 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.
Propiedades
de las desigualdades
1. Una
desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
a < b / ±
c (sumamos o restamos c a ambos lados)
a ± c < b ± c
Ejemplo
2 + x >
16 / – 2 (restamos
2 a ambos lados)
2 + x − 2 > 16 − 2
x > 14
2 + x − 2 > 16 − 2
x > 14
2. Una
desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número
positivo:
a
< b / • c
(c > 0) (c es positivo,
mayor que cero)
a • c < b • c
a > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c > b • c
a • c < b • c
a > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c > b • c
Ejemplo
3 ≤ 5 • x / :5
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:
a <
b
/ • c (c < 0) (c es
negativo, menor que cero)
a • c > b • c
a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c < b • c
a • c > b • c
a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c < b • c
Ejemplo
15 – 3 • x ≥
39
/ −15
− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3
x ≤ 24: (−3)
x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3
x ≤ 24: (−3)
x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta
negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la
desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.
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