CALCULO MAGNOLIA ESAT UAEH 2013

“Intervalo”

Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos.

Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.

Sean a y b dos números reales tales que a < b.

Intervalo cerrado

Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.

[a, b] = { x / a £ x £ b}

Intervalo abierto

Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)

Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.

(a, b] = {x / a < x £ b}

Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)

Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.

[a, b) = { x / a £ x < b}

Intervalos infinitos

[a, +¥) = { x / x ³ a} (a, +¥) = { x / x > a}

(-¥ , b] = { x / x £ b} (-¥ , b) = { x / x < b}

(-¥ , +¥ ) = R

Ejemplo. Interprete gráficamente los intervalos: a) [-2, 3] b) (1, 4) c) (0, 5] d) [1, +¥ ) e) (-¥ , 3)

a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Como es cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:

b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:

c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha. Su gráfica es:

d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:

e) El intervalo (-¥, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:

A modo de resumen:

Nombre del intervalo	Notación conjuntista	Notación de intervalos	Representación gráfica
Abierto	{x / a < x < b}	(a, b)
Semicerrado a derecha	{x / a < x £ b}	(a, b]
Semicerrado a izquierda	{ x / a £ x < b}	[a, b)
Cerrado	{ x / a £ x £ b}	[a, b]
Infinito abierto a izquierda	{ x / x > a}	(a, +¥ )
Infinito cerrado a izquierda	{ x / x ³ a}	[a, +¥ )
Infinito abierto a derecha	{ x / x < b}	(-¥ , b)
Infinito cerrado a derecha	{ x / x £ b}	(-¥ , b]
Infinito	R	(-¥ , +¥ )